一、逻辑回归梯度下降的定义

逻辑回归梯度下降是一种优化算法，通过迭代调整模型参数（权重 ww 和偏置 bb），最小化交叉熵损失函数，使预测概率逼近真实标签。其核心是计算损失函数的梯度，并沿梯度反方向更新参数，逐步降低预测误差。

通俗理解

想象蒙眼下山：

1. 梯度就像你用脚试探出的“最陡方向”，告诉你往哪走能最快降低预测错误。

2. 学习率是“步长”，步子太大会跨过最低点，太小则下山太慢。

3. 每次更新相当于根据当前“踩点”（误差）调整下一步方向，直到踩到谷底（最优解）。

二、逻辑回归梯度下降实现

1. 代价函数
   图片顶部展示了逻辑回归的代价函数（交叉熵损失）：

   

2. 梯度下降更新规则

   • 对参数 w_j​ 和 b 的同步更新：

     

   • 其中 α 是学习率，控制更新步长。

3. 偏导数计算

   • 权重 w_j​ 的梯度：

     

   • 偏置 b 的梯度：

     

4. 核心点

   • 梯度方向指向代价函数增长最快的方向，因此通过减去梯度来最小化代价。

   • 更新公式与线性回归形式相似，但 f_w,b(x) 是逻辑回归的Sigmoid输出。

5. 逻辑回归与线性回归的对比

• 线性回归：f_w⃗,b(x⃗)=w⃗⋅x⃗+b（直接输出连续值）。

• 逻辑回归：f_w⃗,b(x⃗)=1 /（1+e^{−(w⃗⋅x⃗+b)}）​（Sigmoid 输出概率）。

• 相同点：梯度下降公式形式一致（均基于预测误差 f(x)−y），但逻辑回归的 f(x) 为概率值。

6. 优化注意事项

• 监控学习曲线（learning curve）。

• 使用向量化实现（vectorized implementation）提升效率。

• 特征缩放（feature scaling）可加速收敛。