一、引言：为什么需要贝尔曼方程
在强化学习中，我们希望智能体（agent）能够在一个环境（environment）中不断行动，以最大化它获得的累积回报（return）。
但问题在于，未来的回报是未知的 —— 只有在执行了一系列动作之后，才能真正看到结果。
那么，我们如何在当前时刻就知道一个动作是否“好”呢？
这就需要一种能够递归地表示未来回报的方式，
让智能体能够“往前看” —— 通过当前奖励与对未来的估计结合起来，形成对整体回报的合理预测。
1️⃣ 从回报到价值的思考
假设我们在一个环境中有若干状态（states），
每个状态执行一个动作（action）后会获得即时奖励（reward）并转移到下一个状态。
于是我们定义了：
状态值函数 V(s)：在状态 s 下遵循某个策略后，能获得的期望回报。
状态-动作值函数 Q(s,a)：在状态 s 下执行动作 a 后，长期能获得的期望回报。
但这些值函数之间并不是孤立的，它们之间存在一种递推关系：
当前的价值取决于当前奖励 + 下一状态的价值。
2️⃣ 贝尔曼方程的出现
为了刻画这种递推关系，我们引入了一个非常重要的思想：
“当前的价值 = 当前奖励 + 折扣后的未来价值”
这便是强化学习的基石 —— 贝尔曼方程（Bellman Equation）。
它把复杂的长期最优决策问题，拆解成一系列局部的最优决策问题，
从而让算法能够通过动态规划（Dynamic Programming）或迭代学习（如 Q-learning）逐步逼近最优策略。
二、Q 函数回顾与引入
在上一节中，我们提到强化学习的核心是评估“当前行动能带来多大长期收益”。
这一思想的数学表达，正是 Q 函数（State–Action Value Function）。
1️⃣ 什么是 Q 函数？
Q 函数通常记作：
Q(s,a)
它的含义是：
从状态 s 开始，执行动作 a，然后按照某个最优策略继续行动，最终能获得的期望回报。
换句话说，Q 值不仅考虑了当前动作的即时奖励，
还反映了这个动作对未来回报的影响。
因此，Q 函数是连接当前决策与长期目标之间的桥梁。
它回答的问题是：“在这个状态下做这个动作值不值？”
2️⃣ 图像理解：状态、动作与回报的联系
你上传的第一张图很好地展示了这一逻辑：
在图中，网格代表不同的 状态（state），
箭头代表可能的 动作（action），
每个状态上方的数值是它的 即时奖励（reward）。
蓝色的手写部分则定义了 Q 值计算方式：
当你在某个状态采取一个动作后，你会立刻得到奖励 R(s)。
接着进入下一个状态 s′，在那里你继续采取最优动作 a′。
最终，总回报就是这两个部分的叠加。
也就是说：
Q(s,a) 记录了从某个状态出发、执行某个动作后的一条“未来收益轨迹”。
3️⃣ 为什么要引入 Q 函数
在许多强化学习场景（比如迷宫导航、机器人决策、围棋），
智能体需要同时考虑“我现在在哪儿（state）”和“我打算做什么（action）”。
单独使用状态值函数 V(s) 无法区分不同动作的好坏，
而 Q 函数 Q(s,a) 能明确告诉我们：
“在这个状态下，选哪个动作能获得最高的长期收益。”
因此，它为强化学习的“行动选择”提供了量化依据，
而下一节的 贝尔曼方程，正是对 Q(s,a) 的递归定义。
三、贝尔曼方程的数学形式
Q 函数定义了“在状态 ss 下执行动作 aa”的长期回报，
而 贝尔曼方程（Bellman Equation） 则揭示了这些 Q 值之间的递推关系。
1️⃣ 公式定义
贝尔曼方程的核心公式是：
其中：
s：当前状态（current state）
a：当前动作（current action）
s′：执行动作 a 后到达的下一个状态（next state）
a′：在下一个状态下可能采取的动作
R(s)：当前状态的即时奖励（reward of current state）
γ：折扣因子（discount factor），用于平衡“现在的奖励”和“未来的奖励”
2️⃣ 含义解释
这个公式可以这样理解：
当前的 Q 值 = 立即获得的奖励 + 折扣后的未来最优回报。
也就是说，智能体在每个状态中执行一个动作，
它不仅考虑眼前的收获（R(s)），
还会思考“下一步如果继续表现得最优，能得到多少”。
这正是强化学习的核心思想：在短期与长期之间权衡决策。
3️⃣ 折扣因子 γ 的意义
γ 的取值范围是 0≤γ≤1：
当 γ 越大（如 0.99），智能体越关注长期收益；
当 γ 越小（如 0.5），智能体越重视即时奖励。
举个直观的比喻：
γ 决定了智能体的“远见”程度。
γ 大，代表“长远主义”；γ 小，代表“短视行为”。
四、从实例看贝尔曼方程的意义
为了让贝尔曼方程不再只是抽象的公式，我们通过一个具体的 Q 值计算例子来理解它的运作过程。
1️⃣ 示例环境说明
我们依旧使用“火星探测车（Mars Rover）”的简单一维环境：
共有 6 个状态（编号 1–6）；
终止状态（Terminal states）是 状态 1 和 状态 6；
它们的奖励分别是：
其他状态的奖励均为 0；
折扣因子（Discount Factor）取 γ=0.5。
2️⃣ 计算 Q 值的过程
我们以 Q(2,→) 为例来理解：
由于 R(2)=0，所以关键是看 状态 3 的最优行为：
图中标出了 Q(3,→)=25。
于是：
这表明——
在状态 2 选择“向右”行动，其长期期望回报是 12.5。
再看另一个例子：Q(4,←)
同样，R(4)=0，而状态 3 的最优 Q 值为 25：
这说明——
尽管状态 4 和状态 2 位置不同，它们的最优行为所带来的期望回报是相同的。
3️⃣ 图像中的逻辑
在图中可以看到：
上半部分的网格表示奖励（reward）与返回值（return）；
蓝色圆圈标出了关键状态；
右侧的蓝色公式对应刚才的两个 Q 值计算；
最终结果都与折扣因子 γ 和下一个状态的最优值相联系。
这实际上体现了 贝尔曼方程的递归本质：
每个状态的价值由当前奖励 + 下一个状态的价值组成。
4️⃣ 递归展开的直观理解
当继续展开时：
即：
当前 Q 值代表了从当前状态出发、未来所有奖励的折扣和。
它让我们能够用一步的计算，预测长期的整体回报。
5️⃣ 计算实例验证
这张图则展示了用具体数值代入公式的验证过程：
Q(4,←)=0+(0.5)[0+(0.5)0+(0.5)2100]Q(4,←)=0+(0.5)[0+(0.5)0+(0.5)2100]
化简得到：
Q(4,←)=12.5Q(4,←)=12.5
这正与前面通过递推计算得到的结果一致，
验证了贝尔曼方程的正确性与一致性。
五、贝尔曼方程的意义
贝尔曼方程是强化学习中最核心的思想之一。
它告诉我们：
一个状态或动作的价值，可以分解为当前奖励与未来价值的加权和。
这种递推形式让智能体能够一步步学习最优策略，
不需要提前知道整个未来，只要不断更新自己的估计即可。
几乎所有强化学习算法（例如 Q-Learning、DQN）都以它为基础，
通过反复逼近贝尔曼方程来改进策略。
简单来说：
贝尔曼方程让“面向未来的决策”成为可能，
让强化学习从直觉走向可计算。