一、协同过滤算法简介
协同过滤算法是一种常见的推荐系统方法，它的核心思想是“物以类聚，人以群分”。也就是说，如果两个用户在过去对某些物品的兴趣相似，那么他们对其他物品的兴趣也很可能相似。换句话说，用户的行为和偏好可以相互参考。
通俗理解：
就像你会向朋友请教电影推荐：如果你和朋友过去喜欢的电影很接近，那么朋友喜欢的新电影，你也有很大概率会喜欢。协同过滤算法正是利用这种“群体智慧”来预测和推荐。
二、问题动机
在推荐系统中，常见的挑战是：用户只对一小部分物品打过分，而大部分物品的评分是缺失的。比如图中展示的电影评分表：
Alice 喜欢浪漫题材的电影，对《Love at last》给了 5 分，但对动作片《Swords vs. karate》给了 0 分。
Bob 的偏好与 Alice 类似。
Carol 和 Dave 则更喜欢动作片，对浪漫片打了低分甚至 0 分。
问题是，很多位置都是 问号（未知评分），我们想要预测这些缺失值，从而推荐用户可能喜欢的电影。
为了解决这个问题，算法引入了 向量表示：
每个电影用一个特征向量表示，比如用两个维度：浪漫 (romance) 和动作 (action)。
每个用户用一个权重向量表示，刻画他们对不同特征的偏好。
这样，用户对某部电影的预测评分可以表示为：
其中 w(j) 是用户向量，x(i) 是电影特征向量，b(j) 是偏置项。
直观理解：如果用户 Alice 的偏好是“浪漫 5 分，动作 0 分”，而电影《Love at last》的特征是“浪漫强，动作弱”，那么两者的点积会得到一个较高的预测评分。
三、代价函数
在协同过滤中，我们的目标是通过学习电影特征向量 x(i) 和用户权重向量 w(j)，让预测评分尽量接近用户的真实评分。为了衡量预测值与真实值之间的差距，我们引入了代价函数。
具体来说，如果用户 j 对电影 ii 打过分 y(i,j)，则预测值为：
代价函数定义为：
其中：
第一项表示预测评分与真实评分的误差平方和，只对已评分的用户 r(i,j)=1r(i,j)=1 进行计算。
第二项是 正则化项，用来限制参数大小，防止过拟合。
直观理解：
如果预测结果和用户的真实打分差距很大，代价函数就会变大，算法会调整参数来减小误差。
正则化项相当于“惩罚”过于极端的参数，保证模型更稳健。
当我们要同时学习多个电影的特征向量时，代价函数会累加所有电影的误差，目标就是最小化整体的预测误差。
四、协同过滤的完整公式
在前一节里，我们只考虑了如何学习 电影特征向量 x(i)。但在协同过滤中，我们还需要同时学习 用户权重向量 w(j)。
（1）学习用户权重向量
当固定电影特征向量 x(i) 时，用户权重向量的代价函数为：
这部分负责找到每个用户的兴趣偏好向量（比如 Alice 偏好浪漫，Carol 偏好动作）。
（2）学习电影特征向量
当固定用户向量时，代价函数为：
这部分负责刻画每部电影的“特征标签”（比如某电影浪漫强，某电影动作强）。
（3）联合优化
最终，把两部分结合起来，就得到协同过滤的整体优化目标：
这里同时学习用户和电影的向量表示，从而使预测的评分最接近真实评分。
直观理解：
用户向量表示“偏好”，电影向量表示“特征”。
两者点积得到评分预测。
不断调整它们，使得预测尽可能符合历史数据。
五、总结与应用场景
协同过滤算法的核心思想是：通过同时学习 用户的兴趣偏好向量 和 物品的特征向量，来预测用户对未评分物品的兴趣程度。它利用了群体的历史行为数据，不依赖复杂的领域知识，是推荐系统中最经典的方法之一。
在实际应用中，协同过滤被广泛用于：
电影推荐（Netflix、豆瓣电影），根据你和其他用户的相似喜好推荐影片；
音乐推荐（Spotify、网易云音乐），预测你可能喜欢的歌曲；
电商推荐（亚马逊、淘宝），根据相似用户的购买行为推荐商品；
社交平台推荐（YouTube、抖音），推荐视频或内容。
但它也存在一些局限性：
冷启动问题：新用户没有历史评分，新物品没有被打过分，模型难以给出预测；
稀疏性问题：在庞大的评分矩阵中，已知评分往往只占很小一部分，数据不足可能导致推荐不准确。
为了解决这些问题，业界常结合 矩阵分解（Matrix Factorization）、深度学习推荐模型（如神经协同过滤，Neural CF）等方法进行改进。