一、用户—电影评分矩阵

在推荐系统中，最常见的任务就是预测用户对物品（这里是电影）的评分。我们通常会用一个 用户—电影评分矩阵 来表示数据：

• 行代表不同的电影

• 列代表不同的用户

• 矩阵中的值就是用户给电影的评分（比如 1 到 5 星）

在图示的例子中：

• 有 4 个用户（Alice、Bob、Carol、Dave），记作 n_u=4

• 有 5 部电影（如 Love at last、Romance forever 等），记作 n_m=5

• 部分评分已知（数字），部分缺失（“?”），部分用户根本没有评分（标记为 0 或空格）

关键符号

• r(i,j)
  这是一个指示函数：

  • 如果用户 j 对电影 i 进行了评分，则 r(i,j)=1

  • 否则 r(i,j)=0

• y(i,j)
  表示用户 j 对电影 i 的实际评分（如果 r(i,j)=1 才有定义）。

例如：

• r(1,1)=1，表示 Alice 对第一部电影有评分（5 星）。

• r(3,1)=0，表示 Alice 没有对第三部电影评分。

• y(3,2)=4，表示 Bob 对第三部电影给了 4 星。

推荐问题的本质

从这个评分矩阵可以看出，用户对大多数电影都没有打分（即矩阵非常稀疏）。
推荐系统的任务就是：

• 根据已有评分，预测缺失的评分（图中的 “?” 位置）

• 进而为用户推荐最可能喜欢的电影

生活化解释

想象你和朋友们在一个电影打分平台上：

• Alice 特别喜欢爱情片，她给《Love at last》和《Romance forever》都打了高分。

• Bob 更喜欢轻松搞笑的内容，他在《Cute puppies of love》上打了 4 星。

• Carol 和 Dave 则偏爱动作片，他们对《Nonstop car chases》和《Swords vs. karate》评分都比较高。

在这种情况下，系统会发现：

• Alice 没有给《Cute puppies of love》打分，但因为这部电影是典型的爱情题材，而她对类似电影的评分都很高，所以系统会预测她也会喜欢，并给出一个接近 5 星的预测分。

• 同样，Dave 没有给《Swords vs. karate》打分，但因为他喜欢动作片，系统也会预测一个较高的评分。

这就是推荐系统利用 已知评分 去推测 未知评分 的过程。

二、为电影构建特征

在第一节中，我们把问题描述为“补全评分矩阵”，但那只是数据层面的表达。真正要让模型进行预测，就需要为每一部电影和每一个用户构建数学上的表示方式。

电影的特征向量

设每部电影都有一些可量化的特征（features），比如：

• 浪漫元素 (romance)

• 动作元素 (action)

我们可以用一个向量来表示电影的特征：

其中：

• x₁^(i)​：电影 i 的浪漫程度（数值越高，越浪漫）

• x₂⁽ⁱ⁾：电影 i 的动作程度（数值越高，越偏动作片）

例子：

• 《Love at last》是一部浪漫爱情片，可以表示为 [0.9,0]

• 《Nonstop car chases》是一部动作片，可以表示为 [0.1,1.0]

这样一来，每一部电影就从一个单纯的“名字”转化成了可计算的 特征向量。

用户的偏好向量

用户在评分时体现的是他们的兴趣偏好。我们也用一个向量来表示：

• w(j)：用户 j 对每个特征的偏好权重

  • w₁^(j)：对浪漫元素的偏好

  • w₂^(j)：对动作元素的偏好

• b^(j)：用户的整体偏置，表示这个人评分普遍偏高还是偏低

预测公式

给定用户 j 和电影 i，预测评分为：

这其实就是一个 线性回归模型：

• 用户参数 w^(j),b^(j)

• 电影特征 x⁽ⁱ⁾

• 点积加偏置后得到预测评分

例子计算

假设：

• 用户 Alice 的参数是

• 表示她只喜欢浪漫片，对动作片没有兴趣。

• 电影《Love at last》的特征是

则预测分数为：

和实际评分 5 分非常接近，说明模型有效捕捉到了 Alice 的偏好。

三、单个用户的代价函数

在第二节中，我们建立了预测公式：

它能计算用户 j 对电影 i 的预测评分。接下来，我们需要一种方式来衡量 预测评分和真实评分之间的差距，并据此更新用户的参数 w^(j),b^(j)。

误差项

对用户 j 而言，我们只在他/她已经打过分的电影上比较预测和实际：

• 如果预测值接近真实评分，误差就小。

• 如果预测值差距很大，误差就大。

均方误差 (MSE)

为了整体衡量用户 j 的预测准确性，我们采用均方误差：

解释：

• 求和范围：仅在用户 j 确实打分过的电影 (r(i,j)=1) 上计算。

• 平方：让误差为正，且惩罚偏差较大的预测。

• 1/2 系数：为了在后续求导时简化公式。

正则化项

如果只最小化均方误差，可能会导致 w^(j) 参数过大，造成过拟合。
因此我们引入 L2 正则化：

解释：

• 约束每个用户的参数规模，避免“过度依赖”某个特征。

• λ 控制正则化强度：

  • λ 大 → 参数更小，更保守

  • λ 小 → 参数更自由，但风险更大

单用户的完整代价函数

综合上述两部分：

含义：

• 第一部分 → 确保预测尽可能接近用户 j 的真实评分

• 第二部分 → 控制参数规模，提升泛化能力

直观理解

• 对 Alice 而言，代价函数的目标是：找到一组参数 w⁽¹⁾,b⁽¹⁾，能最好地拟合她对所有已看过电影的评分。

• 这就像是在问：“怎样描述 Alice 的口味，才能既符合她看过的电影评分，又不会把她的偏好夸大到极端？”

四、所有用户的联合优化

在第三节中，我们针对 单个用户 jj 定义了代价函数，用来学习他的偏好参数 w^(j),b^(j)。
但在实际的推荐系统中，我们面对的是成千上万的用户，因此需要一个 全局的代价函数，同时学习所有用户的参数。

全局代价函数

综合所有用户：

解释：

• 第一项：

  • 遍历 所有用户，并对他们打过分的电影计算预测误差。

  • 目标是让整个系统的预测都尽量准确。

• 第二项：

  • 对所有用户的参数 w^(j) 加上正则化约束。

  • 避免某些用户参数过大，保证整体模型的稳定性。

参数优化的目标

我们最终希望学到：

也就是说，每个用户都得到一个 个性化的参数向量和偏置，用于捕捉他的兴趣偏好。

意义与优势

1. 统一建模

   • 所有用户的学习目标整合进同一个代价函数。

   • 这样可以保证用户之间共享同一组电影特征向量 x⁽ⁱ⁾，增强模型的连贯性。

2. 提升泛化

   • 如果某个用户的评分数据较少，模型仍可以通过其他用户的学习结果间接获益。

   • 这有助于缓解数据稀疏问题。

3. 更精准的推荐

   • 优化后，每个用户都拥有专属的参数，能更好地预测缺失评分，从而推荐更符合其兴趣的电影。

举个例子

假设系统中有 1000 个用户：

• 对于喜欢浪漫片的用户们，参数 w^(j) 会自动学习到对 romance 特征 的权重较高。

• 对于喜欢动作片的用户们，参数会学习到对 action 特征 的权重更大。

• 对于混合型口味的用户，系统则能平衡这两种特征。

通过这种方式，推荐系统就能为不同兴趣的群体生成定制化预测。