一、均值归一化简介
均值归一化（Mean Normalization） 是一种常见的数据预处理方法。它的核心思想是：将原始数据减去其均值，使得数据的中心值变为 0，从而消除不同数据之间的整体偏移。
在推荐系统中，用户的打分习惯差异很大：有些用户习惯给高分，有些用户则普遍打低分。如果不做处理，模型可能会把这种“用户个人偏好”当作电影本身的特征，导致推荐结果不准确。
通过均值归一化，我们能够 消除这种打分习惯的差异，让模型更关注用户和物品之间的相对关系，而不是绝对分数。
通俗理解：
就像有的人总是打高分（比如所有电影起步 4 星），有的人总是苛刻（很少打 5 星）。均值归一化就像给每个人“校正”了一下，让大家的打分基准都一致，这样推荐结果才更公平。
二、用户没有评分的情况
在实际的推荐系统中，经常会遇到一些用户完全没有打分的情况。例如图中的 Eve（用户5），她对任何电影都没有给过评分，导致她的整列数据都是空的（问号）。
这种情况会带来两个问题：
模型无法直接学习该用户的偏好
协同过滤需要根据已有评分来推断用户兴趣，但 Eve 没有任何历史数据，模型无法提取特征向量 w(j)w(j)。推荐结果偏差
如果简单把缺失值当作 0，会导致错误的结果，因为“没评分”并不等于“不喜欢”。
在数学建模中，这种情况被称为 稀疏性问题（Sparsity Problem）。当用户和电影数量庞大时，评分矩阵里大部分位置都是空的（未观测）。如何处理这些缺失值，是推荐系统的关键挑战之一。
这时，就需要 均值归一化 来帮忙：即使用户没有打过分，也可以利用电影的整体平均分来估计缺失值，作为一个合理的起点。
三、均值归一化的处理方法
为了解决用户打分习惯不同、甚至没有评分的情况，我们引入 均值归一化。核心做法是：
先计算每部电影的平均分 μi。
再把每个评分减去该电影的平均分，得到归一化后的评分。
（1）计算电影均值
例如，电影《Love at last》在不同用户中被打了分，平均值可能是 μ1=2.5。
（2）数据矩阵归一化
原始评分矩阵：
经过均值归一化后，每个数值都会减去该电影的均值 μi：
这样一来，不同用户的打分基准就被消除了，矩阵数据以 0 为中心，更利于模型训练。
（3）直观理解
如果某个用户的评分高于平均值，归一化结果为正数，表示“比大多数人更喜欢”。
如果评分低于平均值，结果为负数，表示“比大多数人更不喜欢”。
未评分的位置仍然保持为 “?”，等待模型预测。
通俗理解：就像班级里有些老师打分严格，有些宽松。如果直接比较分数，会产生偏差。但如果把每个人的分数减去该科目的平均分，再来比较，就更公平。
四、预测时如何恢复原始评分
在训练阶段，我们使用的是均值归一化后的评分矩阵。但在预测阶段，我们最终希望得到的仍然是用户的 实际评分（例如 1 到 5 星），而不是偏移后的值。
（1）预测公式
对于用户 j 在电影 i 上的预测分数，模型先得到归一化预测值：
然后再加回电影的平均分 μi，得到最终预测结果：
（2）为什么要加回均值？
因为训练时我们把每个评分减去了均值，预测值是相对于平均分的偏差。
如果不加回去，预测结果就会失去参考意义，无法映射回原始的评分区间。
（3）示例
假设某电影的平均分 μi=2.5，
模型预测 Alice 的归一化结果是 +1.0，则最终预测评分为 2.5+1.0=3.5。
如果预测结果是 −1.0，则最终评分为 1.5。
（4）直观理解
这就像考试时所有分数都按平均分做了平移（归一化），最后公布成绩时必须再加回平均值，才能得到真正的分数。
五、总结与应用
均值归一化（Mean Normalization） 的核心作用是：
通过减去均值，让数据分布以 0 为中心，减少不同用户打分习惯的差异；
即使遇到用户没有打分的情况，也可以利用物品的平均分作为基准，提升模型的稳定性；
在预测时，将归一化的预测结果加回均值，保证结果落在原始评分的合理区间。
优点：
提高推荐系统的公平性，让预测更贴近用户真实偏好；
缓解评分矩阵的稀疏性问题，改善模型训练效果；
保证不同用户的结果在同一尺度上可比较。
典型应用场景：
推荐系统：电影推荐、音乐推荐、电商商品推荐；
机器学习数据预处理：对数值型特征做均值归一化，加速模型收敛；
图像处理：对像素值减去均值，让图像输入更稳定。
简而言之，均值归一化是推荐系统和机器学习中的一个 小技巧、大作用，它帮助模型消除人为打分习惯带来的偏差，使得预测更精准、更公平。