一、引言
在机器学习与数据挖掘中，“距离”是衡量两个对象相似度或差异性的重要指标。无论是在聚类（clustering）、最近邻搜索（nearest neighbor search）还是分类任务（classification）中，如何定义“距离”都会直接影响模型的效果。
最常见的距离度量是欧氏距离（Euclidean Distance）和曼哈顿距离（Manhattan Distance）。
然而，它们仅适用于特定场景：欧氏距离强调直线距离，更适合连续型特征；而曼哈顿距离衡量坐标差的绝对值，适合离散或栅格状数据。
为了同时涵盖这两种情形，甚至推广到更高维、更复杂的数据空间，数学家引入了闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）。它通过一个可调参数 rr，在不同距离度量之间建立了统一的表达框架，因此被视为一种距离度量的通用形式（generalized distance metric）。
直观理解：
当 r=1 时，它是曼哈顿距离；
当 r=2 时，它是欧氏距离；
当 r→∞ 时，它成为切比雪夫距离。
二、闵可夫斯基距离的定义
闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）定义如下：
其中：
x=(x1,x2,...,xn) 与 y=(y1,y2,...,yn) 表示两个 n 维样本向量；
r 为一个可调参数，用于控制不同维度差异的加权方式；
当 r 取不同值时，该距离可退化为多种常见距离度量。
具体而言：
当 r=1：称为 曼哈顿距离（L₁ norm），用于度量坐标轴方向的累积差距。
当 r=2：即 欧氏距离（L₂ norm），用于计算两点间的直线距离。
当 r→∞：称为 切比雪夫距离（L∞ norm），表示各维度差异中的最大值。
这种形式使闵可夫斯基距离成为一种灵活且普适的度量方式，可以通过调整 r 的值适配不同的数据特征与任务需求。
三、参数变化下的实例
1. 当 r=1：曼哈顿距离（L₁ norm）
此时，闵可夫斯基距离计算各维度差值的绝对值之和，也称为城市街区距离（City Block Distance）。
在几何意义上，它表示在棋盘格上沿水平与垂直方向移动的总步数。
对于二进制向量，一个常见的变体是汉明距离（Hamming Distance），用于统计两个向量在多少个位上不同。
公式为：
2. 当 r=2：欧氏距离（L₂ norm）
当 r=2 时，闵可夫斯基距离退化为欧氏距离，表示两点之间的直线距离。
它是最直观、最常见的距离度量形式，广泛用于几何计算、聚类分析和图像识别中。
3. 当 r→∞：切比雪夫距离（L∞ norm）
当 r 趋于无穷大时，闵可夫斯基距离只考虑各维度中差值最大的那一项。
这种度量方式常用于强调“最坏情况”的偏差，例如在制造或质量检测任务中用于衡量最大误差。
这三种常见情形展示了闵可夫斯基距离在不同应用场景中的多样性：
L₁：更适合离散路径或分段数据；
L₂：用于连续空间下的几何距离；
L∞：用于最大偏差或容忍性分析。
四、不同参数下的计算示例
为了直观理解闵可夫斯基距离如何在不同参数 rr 下表现出差异，
我们以点
x=(1.4,1.6)
与五个样本点的二维坐标为例，计算它们在三种常见范数（L₁、L₂、L∞）下的距离变化。
1. 当 r=2：欧氏距离（Euclidean Distance, L₂ Norm）
它测量两点间的“直线距离”，考虑了每个维度差异的平方和再开方。
可以看到，A₁ 的距离最小（0.1414），与目标点最为接近。
2. 当 r=1：曼哈顿距离（Manhattan Distance, L₁ Norm）
它计算两个点在各维度的绝对差之和，类似沿坐标轴“走格子”的距离。
该度量反映出在不同维度累积偏移的总量。
3. 当 r→∞：切比雪夫距离（Chebyshev or Supremum Distance, L∞ Norm）
在某种意义上，它衡量了“最坏维度”的偏差。
这种距离常用于工业检测或风险评估中，当我们只关心最大误差时尤其有用。
通过对比可以发现：
当 r 较小时（如 L₁），模型更关注整体偏移量；
当 r=2 时，兼顾每个维度的平均差异；
当 r→∞ 时，则聚焦于最大差距维度。
这说明闵可夫斯基距离不仅能统一不同距离度量的数学形式，也为特征空间中的灵活建模提供了理论基础。
五、闵可夫斯基距离与欧氏距离的关系
闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）可以被视为一类“广义距离度量”的统一公式，
而欧氏距离（Euclidean Distance）正是其中的一个特例。
1. 数学关系
闵可夫斯基距离的定义为：
当 r=2 时，该公式简化为：
这正是欧氏距离的标准定义。
因此可以认为，欧氏距离是闵可夫斯基距离在参数 r=2 时的特例。
2. 几何解释
在几何空间中，不同的 r 值对应着不同形状的“等距曲线”：
当 r=1 时，等距线是菱形（L₁ 范数对应曼哈顿几何）；
当 r=2 时，等距线是圆形（L₂ 范数对应欧几里得几何）；
当 r=∞ 时，等距线是正方形（L∞ 范数对应切比雪夫几何）。
这意味着闵可夫斯基距离能够在不同度量标准之间自由切换，
在高维特征空间中调整“距离敏感性”，从而影响模型的聚类或分类结果。
3. 应用视角
在实际应用中：
欧氏距离（r=2）：适用于连续特征、平滑空间的聚类（如 K-Means）；
曼哈顿距离（r=1）：适用于稀疏特征或绝对偏差分析（如 Lasso 回归）；
L∞ 距离（r→∞）：用于容错性、异常检测等场景。
因此，闵可夫斯基距离不仅是欧氏距离的扩展，更是多尺度相似性度量的统一框架。